Normal transformation matrix的推导

normal的transformation matrixh和vertex的transformation matrix并不相同。以下是推导：

vertex上的normal可以定义一个平面,  顶点在平面上，则有(nx, ny, nz, q)*(x0, yo, zo, w)' = 0。当顶点做完model-view transformation后，M为model-view transfornation matrix, 则有(nx, ny, nz, q)*inverse(M)*M*(x0, yo, zo, w)' = 0。变换后的(nx, ny, nz, q)为(nx', ny', nz', q') = (nx, ny, nz, q)*inverse(M), 由于我们并不需要q, 变换后的normal可以写成(nx', ny', nz'）＝ (nx, ny, nz)*inverse(Mu)，Mu为M的左上３×３submatrix。最后对(nx', ny', nz')做normalization使其变为unit vector完成变换。

由此得出若使用row vector表示normal则transformation matrix为inverse(Mu)，使用column vector表示normal则transformation matrix为inverse(Mu)'

Projective Texture Mapping

Projective Texture Mapping是将texture用投影的方法投射到物体上的一种texture mapping方法。从顶点到texture坐标的变换如下图右所示：

在OpenGL里，实现projective mapping可以用两种texture生成方法, object linear和eye linear,　其变换矩阵分别如下图：

Object Linear Texgen

Eye Linear Texgen

Object Linear Texgen左乘的对象是顶点在object space的坐标，Eye Linear Texgen左乘的对象则是顶点在view space的坐标，一般使用Eye Linear Texgen来实现不同object coordinate system的物体的统一投影效果（如shadow mapping)。用OpenGL的实现Eye Linear Texgen，如果用R表示 [0,1] range transformation matrix，则需要将R*Pp*Vp的四个row vector分别设为s,t,r,q的eye plane。

最后发两张NV教学文档里的效果图：

 

glTexGen中object linear和eye linear的区别

根据red book的解释，在eye linear模式下，t = p1' * Xe + p2' * Ye + p3' * Ze + p4' ，Xe,Ye,Ze是顶点在viewing space的坐标， 故有(Xe, Ye, Ze, We) = M * (x0, y0, z0, w0)，x0 , y0 , z0 ,w0为顶点在object space的坐标。而( p1' , p2', p3', p4') = (p1, p2 , p3 ,p4)*inverse(M)，这样看来 t =  (p1, p2, p3, p4) * (x0 , y0 , z0 ,w0), 生成的texture coordinates和在object linear模式下完全相同。怎么会这样呢？

实际上，在( p1' , p2', p3', p4') = (p1, p2 , p3 ,p4)*inverse(M)中，M为调用glTexGen时的Model-view矩阵，在生成坐标过程中不会再变化，而(Xe , Ye , Ze , We) = M * (x0 , y0 , z0 ,w0)中的M则是定义(x0 , y0 , z0 ,w0)时当前的Model-view矩阵，在定义不同顶点时Model-view矩阵可能会有所不同。只有在调用glTexGen后Model-view矩阵没有变化的情况下，在两种模式下生成的texture coordinates相同。简单的说，object linear模式中的纹理坐标跟据顶点的object coordinate(也就是glVertex定义的坐标)做一个固定的变换而生成，而eye linear模式则是把顶点变换到当先的viewing space，根据得到的viewing coordinate做一个固定的变换而生成。