cross product (外积)

向量A，B的叉乘结果为C
C = A×B = | i       j        k| = (AyBz - AzBy, AzBx - AxBz, AxBy - AyBx)
                   |Ax   Ay   Az|
                   |Bx   By    Bz|

| C | = | A×B | = | A | | B | sin<A,B>

| C | = 以A,B为其中两条边的quadrilateral的面积

向量的外积不遵守乘法交换
A×B = -B×A

求一个向量在一个平面上的投影向量

设向量为V, 平面normal为N, 其在平面上的投影向量为V'。

Normalize V和N。

v = normlize(V);
n = normaize(N);

计算v和n的夹角cos值，如果是负值则翻转n和cos值，保证所取的normal和V夹角在180以内。

cosVN = dot(v, n);
if(cosVN < 0)
{
     cosVN = -cosVN;
      n = -n;
}

根据V的长度(V_L)和V和N夹角的cos(cosVN) 计算N'长度(N'_L)和N'。N'满足其终点和V终点连线和平面平行。

N'_L = V_L * cosVN';
N' = N'_L * n;

最后算出V'。

V' =  V - N';

点到面的距离公式推导

求点P(x0,y0,z0)到平面Q: Ax + By + Cz + D = 0的距离d。

平面Q的normalized normal为N = (A, B, C) / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)。这样，必存在一scalor s,使得点P - sN在平面上(s可正可负)。将P - sN带入平面Q的方程,　求得s = (Ax0 + By0 + Czo + D) / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)。

将s取绝对值即为d。

d = | s | = | Ax0 + By0 + Czo + D | / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

<转>导数和微分的区别

1、一元函数，可导就是可微，没有本质区别，完全是一个意思的两种表述：
   可导强调的是曲线的斜率、变量的牵连变化率；
   可微强调的是可以分割性、连续性、光滑性。

   dx、dy: 可微性；  dy/dx: 可导性

   dy = (dy/dx)dx，  在工程应用中,变成： Δy = (dy/dx)Δx  

     这就是可导、可微之间的关系：
   可导 = 可微 = Differentiable。 
   导数 = 微分 = Differentiation，Derivative
     不可导 = 不可微 = Undifferentiable

  【说穿了，可以说是中文在玩游戏，也可以说中文概念更精确性】

   
2、二元和二元以上的多元函数有偏导(Partial Differentiation)的概念， 
   有全导数、全微分(Total Differentiatin)的概念。
  【说穿了，可以说也是中文在玩游戏，也可以说中文概念更有思辩性】
   多元函数有方向导数(Directional Differentiation/Derivative)的概念

   一元函数，无所谓偏导、全导，也没有全微分、偏微分、方向导数的概念。


3、对于多元函数，沿任何坐标轴方向的导数都是偏导数，
   a、沿任何特定方向的导数都是方向导数。
   b、方向导数取得最大值的方向导数就是梯度(Gradient)。
   c、英文中有全导数的概念(Total Differentian),只是我们的教学不太习惯
      这样称呼，我们习惯称为全微分，其实是完全等同的意思。

   一元函数没有这些概念。偏导就是全导，全导就是偏导。

4、dx、dy、du都是微分，只有在写成du=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy时，
   du才是全微分，而dx、dy就是偏微分，只是我们不习惯这样讲罢了。 
   而∂f、∂x、∂y还是微分的概念，是df、dx、dy在多元函数中的变形。

x的单独变化会引起u的变化，du=(∂f/∂x)dx
y的单独变化会引起u的变化，du=(∂f/∂y)dy
其中的 ∂f/∂x、∂f/∂y 就是二元函数f分别对x,y的偏导数。
∂f/∂x 就是由于x的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”；
∂f/∂y 就是由于y的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”。

x、y同时变化，引起u的变化是：
du=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
这就是全微分，所有原因共同引起为“全”。

总而言之，言而总之：
对一元函数，可导与可微没有本质区别；
对多元函数，可微是指所有方向可以偏导，可微的要求更高。

关于空集

空集不含任何元素，Ø 是空集，｛Ø｝不是空集，因为｛Ø｝含有元素Ø

对任意集合 A，空集是 A 的子集；
∀A: Ø ⊆ A

对任意集合 A, 空集和 A 的并集为 A：
∀A: A ∪ Ø = A

对任意集合 A, 空集和 A 的交集为空集：
∀A: A ∩ Ø = Ø

对任意集合 A, 空集和 A 的笛卡尔积为空集：
∀A: A × Ø = Ø

空集的唯一子集是空集本身：
∀A: A ⊆ Ø ⇒ A = Ø

空集的元素个数（即它的势）为零；特别的，空集是有限的：
Card(Ø) = 0
 
 空集是任何非空集合的真子集。.Ø  只有一个子集，没有真子集。｛Ø｝有两个子集，一个是Ø ， 一个是它本身

矩阵行列式及向量外积

矩阵行列式

行列式的计算用下图表示：主对角线上的元素和反对角线上的元素各自相乘，然后用各主对角线上元素积的和减去各反对角线上元素积的和。

3×3的行列式

如果将3 x 3阶矩阵的行解释为3个向量

行列式的一些重要性质：

（1）矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积：|AB| = |A||B|
        这可以扩展到多个矩阵：  |M1 M2 ... Mn| = |M1| |M2| ... |Mn-1| |Mn|
（2）矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式：|MT| = |M|
（3）如果矩阵的任意行或列全为0，那么它的行列式等于0.
（4）交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负。
（5）任意行或列的非零积加到另一行或列上不会改变行列式的积。

行列式的几何意义：

行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积（如图9.1所示）。有符号面积是指如果平行四边形相对于原来的方位”翻转“，那么面积变负。

3D中，行列式等于以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号的体积。3D中，如果变换使得平行六面体”有里向外“翻转，则行列式变负。


行列式与矩阵变换导致的尺寸改变相关，其中行列式的绝对值与面积（2D）、体积（3D）的改变相关，行列式的符号说明了变换矩阵是否包含镜像或投影。

矩阵的行列式还能对矩阵所代表的变换进行分类。如果矩阵的行列式为0，那么该矩阵包含投影。如果矩阵的行列式为负，那么该矩阵包含镜像。

向量外积

几何意义是：数量上（即模）等于原来两个向量为邻边的平行四边形面积；方向垂直与原来两向量所在的平面，并按右手法则确定正向。三维直角坐标系中， X × Y = Z。

加法的分配律： 

a × (b + c) = a × b + a × c

与标量乘法兼容：

(ra) × b = a × (rb) = r(a × b)

不满足结合律，但满足 雅可比恒等式：

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

拉格朗日公式

a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b)