矩阵行列式及向量外积

矩阵行列式

行列式的计算用下图表示：主对角线上的元素和反对角线上的元素各自相乘，然后用各主对角线上元素积的和减去各反对角线上元素积的和。

3×3的行列式

如果将3 x 3阶矩阵的行解释为3个向量

行列式的一些重要性质：

（1）矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积：|AB| = |A||B|
        这可以扩展到多个矩阵：  |M1 M2 ... Mn| = |M1| |M2| ... |Mn-1| |Mn|
（2）矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式：|MT| = |M|
（3）如果矩阵的任意行或列全为0，那么它的行列式等于0.
（4）交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负。
（5）任意行或列的非零积加到另一行或列上不会改变行列式的积。

行列式的几何意义：

行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积（如图9.1所示）。有符号面积是指如果平行四边形相对于原来的方位”翻转“，那么面积变负。

3D中，行列式等于以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号的体积。3D中，如果变换使得平行六面体”有里向外“翻转，则行列式变负。


行列式与矩阵变换导致的尺寸改变相关，其中行列式的绝对值与面积（2D）、体积（3D）的改变相关，行列式的符号说明了变换矩阵是否包含镜像或投影。

矩阵的行列式还能对矩阵所代表的变换进行分类。如果矩阵的行列式为0，那么该矩阵包含投影。如果矩阵的行列式为负，那么该矩阵包含镜像。

向量外积

几何意义是：数量上（即模）等于原来两个向量为邻边的平行四边形面积；方向垂直与原来两向量所在的平面，并按右手法则确定正向。三维直角坐标系中， X × Y = Z。

加法的分配律： 

a × (b + c) = a × b + a × c

与标量乘法兼容：

(ra) × b = a × (rb) = r(a × b)

不满足结合律，但满足 雅可比恒等式：

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

拉格朗日公式

a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b)